MATEMATİK-Sayılar-1

Giriş

Sayı Kavramı

Sayının tarihçesine göz attığımızda M.Ö Sümer Uygarlığında kullanıldığı biliniyor. Farklı sistemler kullanılmıştır. Onlu düzen ilk defa M.S Hindistan dolaylarında ilk kez denenmiştir. İslam bilginleri 0 kavramını ortaya koyarak bu düzende bir çığır açmışlardır. 800’lerde gelişen sayı kavramı Endülüs medeniyeti tarafından Avrupaya taşınmıştır. Böylece günümüze gelen bir sistemden bahsediyoruz. Eski Yunan uygarlığında ise Psegor sayının babası olarak bilinir. Farklı sayı sistemleri üzerinde çalışmalar yapmıştır.

Türkiye’de ve dünyada kullanılan sayı sistemi Onlu taban sistemidir. Buna Decimal denir. Bu sayı sistemi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 değerlerinden oluşur. Bunların her birine rakam denir. Sayılar bir rakamdan oluşabildiği gibi çoklu rakam dizisinden de meydana gelebilir. Sayılar tek veya çoklu basamakları barındırır. 10, 11 gibi sayılar iki basamaklı sayıdır. Yani bir kişinin yaşı 35 ise bu yaşı içeren sayı 35 sayısını, 35 sayısı da 3 ve 5 rakamlarını kapsar. Günümüzde tercih edilen sayı sistemi Onlu sistemdir. Ama eski Mısır uygarlığında 60’lı sistem mevcuttu. Buna göre; 60’lı sistem, 0’dan başlayıp 59’a kadar devam eden rakamlardan oluşmakta idi. Onlu sistemde 10 11 sayıları nasıl ki iki basamaktan oluşuyorsa, orada da 60 10’un karşılığı idi. Yani ikinci basamağın ilk değeri oluşuyordu.
Günümüzde kullanılan başka bir sistem de İkili sayı sistemidir. Bu sisteme Binary-dual sistem de denir. Buna göre 0 ve 1 rakamlarından meydana gelmektedir. Bilgisayar dili 0 ve 1 rakamlarının dışında hiç bir değeri kabul etmez. Doğru-yanlış gibi mantık dizinleri de buna göre uygulanır. 8’li sayı sistemine Octal, 16’lık sayı sistemine de Hexadecimal ifadesi kullanılır. Aslında 16’lı düzen 0’dan 9’a rakamları, aBCDEF karakterlerini barındırır. Yani 10 rakamdan, 6 harften oluşur. Gelişen bilgisayar teknolojisinin yeni alt yapısı buna dönmüştür.

Biz günümüzde tercih edilen Onlu sistem üzerinde çalışma yürüteceğiz. İlk okula başlayan bir çocuk birinci sınıfta iken önce rakamları öğrenir. Sonra ikişer ikişer, üçer üçer saymasını, daha sonra toplama yapmayı öğrenir. Sizlerin sorgulaması gereken sorulardan biri sayıların, rakamların öğrenilmesinin ardından hemen toplama yapmaya geçmeyip, ikişer, üçer, dörder sayılmasının sebebidir. Farklı düzen ve sistemlerin nasıl işlediğinin anlaşılabilmesi adına bu sayı saydırma çok önemlidir.
Onlu taban diye bilinen sistem, mevcut sayı düzenidir. Bu sayı düzenine göre, 9 sayısından sonra bir basamak daha oluşturur ve 10, 11, 12 gibi sayılar 99’a kadar gider. 100 olduğunda bir basamak daha oluşur. Yani 10 sayısını, her 10 ile çarptığımızda da önce 100, sonra 1000, daha sonra 10000 sayılarına ulaşmak suretiyle basamak sayılarını arttırmış oluruz. Bir sayı büyüdükçe iki rakamdan, üç rakamdan ve daha çok rakamdan oluşur. İki rakamdan oluşan sayıya iki basamaklı, üç rakamdan oluşan sayıya üç basamaklı sayı ifadesi kullanılır. Basamak ile rakam adetini vurgulamış oluruz. Bu anlatımla sayı kavramını, sayı düzenlerini, sayı sistemlerini, rakam ve basamak değerlerini öğretebilmeyi amaçlıyoruz.

Onlu düzen dışında, 2’li, 3’lü, Dörtlü gibi sayı düzenleri de vardır. Yukarıda örneğini vermiştik. Geçmiş zamanlarda farklı düzenler kullanıldığı gibi, bugün de çeşitli yapıların işletilmesi için yine Onlu düzen dışında sistemler de tercih edilebiliyor. Elbette her tabandan sayıyı birbirine dönüştürmek de mümkün.
Örneğin İkili sayı düzeninde sadece 0 ve 1 rakamları bulunur. Bu da 2’nin her 2 ile çarpımı ile bir basamak oluşacağı anlamına gelmektedir. Nasıl ki Onlu tabanda 100 sayısı hem üç basamaklı, hemde 10’un katı ise, yani 10 * 10 = 100 ise, 4 de 2 ile 2’nin çarpımı yani katıdır. Bu da üç basamaklıdır. 1, 0, 0, şeklinde basamakları oluşur. Özellikle bu basamakları virgülle ayırdım ki Onlu tabandaki 100 sayısı ile karıştırılmasın diye. Yukarıda İkili düzen için bilgisayar formatının arka plan yapısı olduğunu belirtmiştik. Her harf, işaret ascii kodunu içerir. İleriki matematik anlatımlarında kaç farklı formasyonu barındırdığını daha iyi kavramış olacaksınız. A harfi 65, a harfi 97 kodunu kapsar. Dikkat edilirse büyük-küçük harflerin bile kodları ayrı. Hatta bilgisayar harf ve işaretleri tanımaz. Bilgisayar işlemcisinin tanıdığı 0 ve 1 rakamlarıdır. Yapılan her işlem veya yazılan her karakter arka planda bu rakamlara dönüştürülür.
Bu dipnotu da ifade ettikten sonra, yukarıda belirttiğimiz gibi, 3 sayısının katları da Üçlüdüzenin basamaklarını ifade edecektir. Üçlüdüzende; 0, 1, 2 rakamları bulunur. Burada da 3*3=9 sayısı aynı İkili düzende olduğu gibi 1,0,0 yani 100 sayısına karşılık gelir. Biz burada bu sayıların birbirlerine dönüştürülme mantığını öğrenmeye çalışacağız.

İsterseniz, kolaylık olması bakımından, Onlu bir tabandaki sayıyı, İkili bir tabana dönüştürelim. Daha sonra İkili düzenden Onlu düzene çevirelim.
Onlu basamakta 0’dan 9’a kadar olan rakamlar, tek basamak olur. 10’dan 99’a kadar olanlar da ikinci basamağı oluşturur. Bu da her sayı büyüdükçe sola doğru büyümesi anlamına gelir. Yani, solda olan en büyük değer, en sağdaki değer, en küçük değerdir.

57 sayısını ele aldığımızda, Solda bulunan değer 5 olmasına karşın ve sağdaki 7 rakamından değer itibarıyla küçük olmasına rağmen, Solda olduğu için daha büyüktür. Zira 10’lar basamağını gösterir. Sağda bulunan 7 rakamı, 1’ler basamağıdır. Burada ortaya çıkan sonuç, basamak sayısı sola doğru artar. 5 Rakamı 50 değerini oluşturur. Dolayısıyla rakam itibarıyla küçük olmasına karşın değer bakımından daha büyüktür.

Süleyman Yüksel

Onlu Düzenden İkili Düzene Dönüştürme

Dedik ki; İkili düzende 0 ve 1 rakamları bulunur. 2 olunca bir basamak daha oluşur. Aynı Onlu düzende 9 sayısından sonra 10 diyebilmek için 1 ve 0 rakamlarını yanyana yazıyorsak, İkili düzende de 10 yazılır. Bu da elbette bir sayıdır, ama iki rakamlıdır. İkili düzende 2 ve 4 8 gibi katları ile basamaklar oluşur. Onlu düzende ise 10 100 1000 şeklinde basamaklar oluşuyordu. İkili düzendeki 4′ üç basamaklıdır. Onlu düzende 100 de üç basamaklıdır.
İkili düzende 0 ve 1 rakamı bulunur. yani iki rakam bulunur. Onlu düzende ise, 0’dan başlayarak 9’a kadar toplam on tane rakam vardır. İkili düzende iki rakam varbunlar da az önce belirttiğimiz rakamlar.

İlk etapta Onlu basamaklı sayıları İkili düzenlere çevirmeye çalışalım.
Onlu tabanda örneğin 5 sayısını alalım. 10’dan büyük olması gerekmez sayının.
5’i İkili düzene çeviriyoruz:
Bunun için önce mantık şudur. Sayı, 2’ye bölünür artan bir kenara not edilir. Bulunan sonuç 2’ye tekrar bölünür. Artan yine kaydedilir. Sonuç yine 2’ye bölünür, ta ki 2’den küçük olana kadar. 2’den küçük olan da aynen yazılır.
5’i bu şekilde bölüyoruz. sonuç 2 çıkar ve artan 1’dir.
1 rakamı İkili düzende en sağdaki rakamımız olacak. Çıkan 2 sayısını da 2’ye bölüyoruz. sonuç 1 artan 0 çıkar.
Artan 0 rakamını da 1’in öncesine yazıyoruz. Bu ikinci basamağımız oldu.
Sonuç 1 çıkmıştı bu 2’ye bölünmediğinden aynen yazılır. Bu da 0’dan önce yazılır. 1, 0, 1, şeklinde sonuç elde edilir.
Kalanları yani artan sayıları en sağdan sola doğru not ediyoruz.
Dikkat edileceği üzere, ilk bölmeden artan rakam, en sağa yazılır. Klasik söylenişle birler basamağı olur. Her artan sayı 0 dahil olmak üzere sağdan başlayarak sola, sola yazılır. En soldaki rakam, o düzenin en büyük basamağını oluşturur. Nasıl ki, Onlu düzende 1234 sayısında en soldaki 1 rakamı tek başına en küçük rakam olmasına karşın, en büyük basamağın adıdır. Burada da aynı biçimde en solda bulunan rakam, en büyük basamağı oluşturur. Basamaklar sağa kaydıkça küçülür. Bu bir genel matematik kuralıdır.
İşlemi araya ifade koymadan tekrar yazalım.
5/2=2 kalan 1
2/2=1 kalan 0
1 2’den küçük olduğundan aynen yazılır.
Onlu sistemdeki 5 sayısı İkili düzende 101 sayısının ifadesi oldu.

Şimdi 14 sayısını alıyoruz.
Burada önce bölme sonucunu, ardından artan sayıyı yazacağım. Sizler, artan diye gösterdiğim rakamları dizin.
Elbette sonuç diye gösterilen sayıların bölmesine de dikkat edin.

14/2=7 0

7/2=3 1

3/2=1 1

1 bölünmez ve aynen yazılır. Böylece 1, 1, 1, 0 bulunur.
İlk bölmeden 0 arttı, ikinci bölmeden 1 arttı. Üçüncü bölmeden 1 arttı. En son 1 2’ye bölünmediğinden aynen yazıldı.

İlk bölmeden elde ettiğimizi en sağa, en son kalanı da en sola gelecek şekilde yerleştirdik. Rakamları ben ayıra ayıra özellikle yazdım ki 1110 sayısı ile karıştırmayasınız diye.

4 sayısını İkili düzene çevirelim.

4/2=2 artan 0’dır.

2/2=1 artan 0

1’de aynen yazılır.

Böylece 1, 0, 0 bulunur.

Dikkat ettiniz mi bilmiyorum. 2 ile 2 çarpımı 4 çıkıyor. 4 İkili düzende 100 şeklinde yazılıyor. 10 ile 10 çarpımı da 100 çıkıyor. 2*2 ile 10*10 çarpımları 100 şeklinde yazıldı.

Bir fark ile. İkili düzendeki 100, Onlu düzendeki 10’den değer olarak küçüktür. Hatta 25 kat daha küçüktür.

Bu detayı da ifade ettikten sonra Onlu sayıların İkili düzenlere çevrilişine devam ediyoruz.

Bundan sonra soruyu sorup, sonuçları vereceğim. Açıklamaları yazı uzamasın diye vermeyeceğim.

Eğer elbette, biz bulamadık şeklinde, talep gelirse, yine yukarıda ve daha önce olduğu gibi paylaşacağız.

Bunu açıklıyorum:

97/2=48 artan 1

48/2=24 artan 0

24/2=12 artan 0

12/2=6 artan 0

6/2=3 artan 0

3/2=1 artan 1

Kalan 1’de yazılır.

Böylece, 1100001 bulunur. Bu, a harfinin bilgisayardaki arka plandaki karşılığıdır arkadaşlar.

Yukarıdaki, 65 ise büyük a harfinin karşılığı idi.

Umarım açıklayıcı olmuştur. Bir sonraki aşamada İkili düzenin Onlu tabana dönüşümünü paylaşacağım. Bu arada tekrarlara önem verelim. Sormaktan ve öğrenme talebinden vaz geçmeyelim.

Şu soruları da sizler çözün:

33

25

18

134

181

Bir sonraki paylaşımda görüşmek üzere…

Süleyman Yüksel