Ders 2

Önceki Dersteki Soruların Yanıtları



Bir önceki dersimizde 10’lu tabandaki bir sayının nasıl 2’li tabana dönüştüğünü açıklamıştık. Ardından bir kaç sorunun cevabını da sizlere bırakmıştık.

 

Şimdi bu sorularımıza göz atalım. Yine daha önceki derste olduğu gibi önce işlemi, ardından artanı vereceğim.
Bilineceği gibi ilk bölme sonucunda oluşan artan, 1’ler basamağını oluşturuyordu ve giderek basamaklar büyüyordu. Elbette en büyük basamak, en solda olan idi.
İşte cevaplarımız.

 

İlk soru: 33
33/2=16, artan 1
16/2=8, artan 0
8/2=4, artan 0
4/2=2, artan 0
2/2=1, artan 0
1 Bölünmez aynen alınır.

Cevap: 100001



Diğer soru: 25
25/2=12, artan 1
12/2=6, artan 0
6/2=3, artan 0
3/2=1, artan 1
1 aynen yazılır.
Cevap 11001




Üçüncü sorumuz 18 idi.
18/2=9, artan 0
9/2=4, artan 1
4/2=2, artan 0
2/2=1, artan 0
1 aynen alınır.
Cevap: 10010




Dördüncü soru: 134
134/2=67, artan 0
67/2=33, artan 1
33/2=16, artan 1
16/2=8, artan 0
8/2=4, artan 0
4/2=2, artan 0
2/2=1, artan 0
1 2’den küçük aynen yazılır.
Cevap: 10000110




Son sorumuz 181
181/2=90, artan 1
90/2=45, artan 0
45/2=22, artan 1
22/2=11, artan 0
11/2=5, artan 1
5/2=2, artan 1
2/2=1, artan 0
1 yazılır.
Cevap: 10110101



2’li Tabandan 10’lu tabana Çevirme



Bu bölümde 2’li tabandaki bir sayının 10’lu tabana dönüşümünü açıklamaya gayret göstereceğiz.
Aslında matematik öyle bir mevzu ki; bütün konular bir yerde birbiri ile çakışıyor ve tamamlıyor. Burada daha önce anlatmadığımız bir konu olan üslü sayıların bilinmesine ihtiyaç var. Derin bir anlatıma girmeden sadece bu çevirileri sağlayacak kadar üssü kavramını anlatmaya gayret göstereceğiz.
Herhangibir sayının üssü, o sayının kaç defa kendisi ile çarpılacağı anlamına gelir. Örneğin 2 sayısının kendisi ile çarpımı, bize 4 sayısını verir.
2*2=4
deriz biz buna.
2’yi üç defa yanyana çarparsak, 2*2*2 ne olacak?
2*2 4 eder demiştik. Çıkan bu sonucu da 2 ile bir daha çarparsak 8 eder. Yani 2’nin üssü 3’ü 8 olur. Her sayının kendisi ile çarpımı karesini, üç defa çarpımı ise küpünü verir. Daha doğrusu kare ve küp şeklinde de adlandırılır.
Düzen çevirilerinde peki bize bunlar niçin gerekli?
10’lu tabana dönüşümde o sayıların üsleri kullanılacak.
Bu noktaya girmeden biraz daha üs ile ilgili detaylara bakalım.
2 üssü 4 ise 16 olur.
2*2*2*2=16
2 üssü 5 32 olacaktır.
2*2*2*2*2=32
Aynı biçimde 3 sayısının da üsleri alınacağı zaman, çarpımları katlarını bize verecektir. Örneğin 3*3=9 olur. Bu, 3’ün aynı zamanda karesi olarak adlandırılır. 3’ü üç defa çarptığımızda 3*3*3=27 olmaktadır.
4 defa çarpılınca 81 olur.
3 üssü 5 ise 243
Her sayının üssü 1’i kendisidir. Yani 3 üssü1 yine 3’tür. 2 üssü1 2 olur.
Bir kural daha, her sayının 0’ıncı kuvveti yani 0’ıncı üssü 1’dir.
Bizim için şimdilik bu üs kuralları yeterli.



Şimdi, 2’li tabanı 10’lu tabana dönüştürelim.
önce ikili tabandaki sayının birler basamağı, yani en sağda bulunan basamağı 0’ınıcı kuvveti demektir.
Hemen solundaki üssü 1 olur. Sola geldikçe, yani basamak büyüdükçe, üssü değeri artarak devam eder.
Bizim yapacağımız her çıkan sonucu toplayarak, çeviri sonucuna ulaşacağız.
Bunu örneklerle açıklamaya çalışalım.

 

ikili düzendeki 101 sayısını 10’lu düzene çevirelim.
En sağda bulunan sayı 1’dir.
Önce üs değeri alınır ve elimizdeki sayı ile çarpılır. Burada elimizdeki sayı 1 olup, üssümüz de 0 olduğuna göre:
1*2 üssü0 işlemini yapıyoruz.
2 üssü 0=1’dir. 1*1 ise yine 1 olur.
Çıkan her sayıyı üst üste toplayacağız buraya artı diyoruz.
İkinci basamağımız 0, üs ise 1,
2 üssü 1 2 olur.
0*2=0 olacağından sonuç 0
üçüncü basamağımız 1, yani en soldaki rakamımız.
üssü değerimiz de 2
önce üssü işlemi, 2*2=4
1*4=4 olur.
topluyoruz çıkan sonuçları: 1+0+4=5’tir.
Demek ki, 10’lu tabandaki 5 sayısının 2’li tabandaki karşılığı 101 imiş. Bu örneği 10’lu taban sırasında açıklamıştık.



Bizim karşımıza çıkan noktalar şunlardı.
Bir sayının 0’ıncı kuvveti 1 olacak. 1’inci kuvveti ise kendisi olacaktır.
Eğer üslü ifadenin başında çarpma işareti varsa, önce üssü işlemi yapılıyor ve ardından çarpma gerçekleştiriliyor.
En sağdaki basamağımız yani klasik yöntemle birler basamağının kuvveti 0 olmak üzere, sola geldikçe ve basamak büyüdükçe, artı 1 şeklinde bu kuvvet artıyor. Hatta bir sayı kaç basamaklı ise, en büyük üssü değeri bir eksiği kadar olacaktır.
2’li tabandaki 101 sayısında en büyük kuvvetimiz 2 çıkmıştı.



Şimdi başka örneklerle bu konuya devam edelim.
101101
İşte bu sayımızı 10’lu düzene dönüştürelim.
Bu sayı, 6 basamaklıdır ve en büyük kuvvet 5 olacaktır.
yine en küçük basamaktan, yani en sağdaki basamaktan başlıyorum. Sizler en soldaki basamaktan başlamak istediğinizde, önce kuvvet 5, ardından kuvvet 4 diyerek işlemleri gerçekleştireceksiniz.
En sağda 1 rakamı var:
1*2 üssü 0
2 üssü 0 işlemi 1 olduğundan 1 ile 1’in çarpımı yine 1 olur. Buraya artı dedik.
İkinci basamağımız 0 rakamına sahip.
0*2 üssü 1
Bunun sonucu da 2 üssü 1 2 eder.
0 ile 2 çarpımı da 0 olur. Buna da artı dedik.
Üçüncü basamağımız 1 rakamına sahip.
1*2 üssü 2
2 üssü 2 4 olur. 1 ile 4 çarpılınca yine 4 olur. Buna da artı dedik.
Dördüncü basamağımız 1 rakamına sahip.
1*2 üssü 3
2 üssü 3 8 eder. 1 ile çarpılınca yine 8 olur. yine artı dedik.
Beşinci basamak 0 rakamına sahip.
0*2 üssü 4
Hangi üssü ifade veya hangi sayı 0 ile çarpılırsa 0 olacağından otomatik olarak bu işlem sonucu da 0 olur.
Altıncı basamaktaki rakam 1’dir.
1*2 üssü5
2 üssü 5 32 eder. 1 ile çarpılınca yine 32 olur.
Şimdi çıkan sonuçları topluyoruz.
1+0+4+8+0+32=45
Demekki, 10lu tabandaki 45 sayısının 2’li tabanda yazılışı 101101 şeklinde imiş. Daha önceki derste belirttiğimiz gibi 45’i 2’ye bölerek işlemin sağlamasını da yapabilirsiniz.



Aşağıdaki soruları da sizler cevaplandırırsanız sevinirim.
11
1001
100011
111000
10010
1010101010



Hepinize kolaylıklar diliyorum.

Süleyman Yüksel


2’li Taban Soru Cevapları



2’li tabanda gösterilen sayıları 10’lu tabana dönüştürmeye çalışmıştık.
Buna göre bir kaç soru sormuştuk.

Soru ve cevaplarımız:
2’li düzende 11= 10’lu düzende 3
2’li düzende 1001= 10’lu düzende 9
2’li düzende 100011= 10’lu düzende 35
2’li düzende 111000= 10’lu düzende 56
2’li düzende 10010= 10’lu düzende 18
2’li düzende 1010101010= 10’lu düzende 682



Bu son soruyu bir kez de buradan çözümlemeye çalışalım. Üssü kavramı işin içine girince kafalar karışmış olabilir.
Dipnot olarak bir kaç noktayı yine vurgulamakta fayda var.
Bir sayının 0’ıncı kuvveti, yani üssü, yani çarpımı 1’dir.
Bir sayının 1’inci kuvveti (Üssü) sayının kendidir.
Yukarıda 2’li düzende verilen bir sayının 10’lu düzene dönüşümü için şunları da izah ettik.
Kaç rakamdan oluşuyorsa bir eksiği en büyük üs olur.
Yani 7 rakamlı bir sayı 10’lu düzene dönüşüyorsa; en soldaki rakam 2’nin 6’ncı kuvveti olacaktır. Yani 2’nin 6 defa kendisi ile çarpımı olacaktır.
2*2*2*2*2*2
En sağdaki rakam da 0’ıncı üssü olacağından kuvvet 1’dir. Eğer, en sağdaki rakam 0 ise üs işleminden sonra 0’la çarpıldığında sonuç 0 olur.
Eğer rakam 1 ise 1*1=1 olur.
Üs ifadelerinin dışında her sayının 0’la çarpımı 0, her sayının 1’le çarpımı kendisi olur.
Bu notları da tekrarladıktan sonra son sorunun çözümüne geçelim.



2’li düzende 1010101010 10’lu düzende ne olur?
Bu sefer en sağdan işlem yerine en soldan işlem yapmaya başlıyalım.
Basamak sayısına baktık ve 10 basamaklı olduğunu gördük.
En soldaki rakamımız 9’uncu kuvvet olacak.
Soldan sağa gittikçe 8’inci, 7’nci kuvvet biçiminde küçülecek üslerimiz.
1010101010
En solda 1 rakamımız var.
1*2 üssü 9 Yani 1*2^9
İlk yazım görme engellilerin anlayabilmesi için, ikinci yazım normal anlatım biçimi idi.
Kural ilk önce üs işlemini gerektirir.
2*2*2*2*2*2*2*2*2=512
1*512=512
İkinci rakam 0
0*2 üssü 8
0*2^7
2*2*2*2*2*2*2*2=256
0*256=0
Üçüncü rakam 1
1*2 üssü 6
1*2^6
2*2*2*2*2*2=128
1*128=128
Dördüncü rakam 0
0*2 üssü 5
0*2^5
2*2*2*2*2=64
0*64=0
Beşinci rakam 1
1*2 üssü 4
1*2^4
2*2*2*2=32
1*32=32
Altıncı rakam 0
0*2 üssü 3
0*2^3
2*2*2=16
0*16=0
Yedinci rakam 1
1*2 üssü 3
1*2^3
2*2*2=8
1*8=8
Sekizinci rakam 0
0*2 üssü 2
0*2^2
2*2=4
0*4=0
Dokuzuncu rakam 1
1*2 üssü 1
1*2^1
2=2
1*2=2
Onuncu rakam 0
0*2 üssü 0
0*2^0
2’nin 0’ıncı üssü 1
0*1=0
Çıkan sayıları topluyoruz.
512+0+128+0+32+0+8+0+2+0=682
Dikkat ettiyseniz bu sayımızda ikinci, dördüncü, altıncı gibi bazı rakamlarımız 0 idi. Aslında 0’la çarpılan her sayı 0 çıkacağından boşuna işlem uzattık. Ama hesaplamanın mantığını anlatabilmek adına bu gerekliydi. Buna göre, 0 yazılan her rakamın karşılığı olan değeri 0 olarak kabul etmeliyiz.
Bu şekilde 0 olan rakamların karşılığı değerleri direk 0 yazarsak sonuca daha hızlı ulaşırız.




10’lu Tabandan 3’lü Tabana Dönüştürme

 

3’lü tabana dönüştürme ve 3’lü tabandan 10’lu tabana dönüşümü görelim.
2’li düzenlerde görmüş olduğumuz kuralların tamamı burada yine geçerli.
2’li tabana dönüştürülürken 2’ye sürekli bölüyorduk. Burada 3’e böleceğiz. 2’li tabanda üssünü alırken 2 ve katlarını alıyorduk, burada 3 ve katlarını alacağız.



10’lu tabanda 34 sayısını 3’lü tabana dönüştürelim.
34/3=11 artan 1
11/3=3 artan 2
3/3=1 artan 0
Sondaki 1 aynen yazılır.
Sonuç: 1021



Dikkat edilirse, rakamlarımız 3’ten küçük ve 0, 1, 2 rakamlarından oluşuyor.
şimdide başka bir sayı alalım.

98
98/3=32 artan 2
32/3=10 artan 2
10/3=3 artan 1
3/3=1 artan 0
1 aynen yazılır. 10122

Daha önce yazdığımız dönüştürmedeki bölme mantığı uygulanmış oldu.

Biraz daha hızlı gitmek amacıyla burada sorularımızı soralım ve ardından 3’lü tabandan 10’lu tabana dönüşümü görelim.
82
242
123
28
700
Bu sayıları da sizler dönüştürmeye gayret gösterin.



3’lü Tabandan 10’lu Tabana Dönüştürme



Şimdi 3’lü tabandan 10’lu tabana dönüşüme geçelim.
2’li tabanda kurallarımız burada da geçerli. 3 ve katları esas alınacak. 3’ün 0’ıncı kuvveti 1’dir.
3’ün 1’inci kuvveti 3’tür.
3 üssü 2=9
3 üssü 3=27
3 üssü 4=81
3 üssü 5=243
3 üssü 6=729
şeklinde devam ediyor.



221 sayısını 10’lu düzene dönüştürmeye çalışalım.
En sağdaki rakamımız 1 olduğuna göre
3 üssü 0=1
1*1=1
2*3 üssü1=6
2*3 üssü 2=18
1+6+18=25



Şimdi de 1222 sayısını inceleyelim.
En sağdaki rakamımız 2’dir.
2*3 üssü 0=2
2*3 üssü 1=6
2*3 üssü2=18
1*3 üssü 3=27
Toplayalım:2+6+18+27=53



Şu sayıları da sizler dönüştürün:
21
210
102
1020
221100



Sayı Düzenleri Son Tekrar




Daha önceki dersimizde matematiğe ve ardından sayı kavramına giriş yapmıştık. Peşinden sayı düzenleri hakkında bilgi vermiştik. Günümüzde kullanılan düzen 10’lu düzen olduğunu, ama eski dönemde ve bu dönemde farklı amaçlarla da olsa değişik sayı sistemlerinin uygulandığını vurgulamıştık.
Bu temel bilgilerin ardından 10’lu düzenden 2’li düzene, 2’li düzenden 10’lu düzene, 10’lu düzenden 3’lü düzene ve 3’lü düzenden 10’lu düzene çevirmeyi anlatmıştık. Bu konuyla ilgili örneklere yer vermiş, çözümlerini ayrıntılı biçimde açıklamıştık.
Unutulmaması gereken bir kaç noktayı yinelemekte fayda olduğunu sanıyorum.

 

    1. Onlu sayı sisteminden ikili, üçlü, sekizli, onaltılı gibi sayı düzenlerine bir sayı dönüştürülecekse, dönüştürülecek sayı sisteminin taban sayısına bölünür. bu bölme ve artan sayıların tersten yazılmasıyla yani sondan başa doğru yazılmasıyla yeni sayı elde edilir.

 

    1. Onlu sayı sisteminden diğer sayı sistemlerine dönüştürülecek sayı ondalıklı sayı ise; tam sayı kısmı kural 1’e göre yapılır. Ondalık kısmı ise dönüştürülecek sayı sisteminin taban sayısı ile çarpılır. Çarpım sonucunda elde edilen sayının tam kısmı kaydedilecek, kalan kısım tekrar taban ile çarpılır. tam oluşursa kayda devam edilir. Ta ki 0 veya 0’a yakın bir değer oluşuncaya dek.

 

    1. Yukarıda anlattığımız gibi en soldaki rakam basamak sayısının bir eksiği olarak üs biçiminde yazılır.

 

  1. En sağdaki bölümde kalan ilk rakam en küçük değeri ve sıfırıncı kuvveti oluşturur.





Süleyman Yüksel